Como minha próxima prova é BM eu vou continuar com isso.
Pretendo arriscar origems da vida(Fui mal porque não estudei, convém fazer um resumo) e colocar estrutura da matéria em dia a seguir.
A matéria seguinte de funções eu vou deixar pra mais tarde pra dar um enfoque pra Anális combinatória.
Basicamente pra combinatória há 3 fórmulas:
permutação : n!/n1!n2!...nn! em que n1 e n2 etc são elementos repetidos.
Na permutação a ordem dos elementos distingue ou seja AB é diferente de BA. (Probleminhas de senha e coisas assim normalmente caem em permutação).
Arranjo(Chamado de permutação também nas notas de aula):Ordem dos elementos importa mas você tem um universo mais retrito.
SEM repetição a fórmula é n!/(n-k)! em que n é o universo e K as opões
Por exemplo com as letras ABC quantas sequências de duas letras dá pra fazer?
Podemos fazer: AB,AC,BA,BC e CA,CB logo 6.
pela conta 3!(1)=6.
Entenda exemplos como esse onde você tem opções que se esvaem(como coisas fisícas por exemplo tipo livros).
COM repetição a fórmula é n
k .
No mesmo universo acrescentariamso AA,BB e CC as opções totalizando 9. 3²=9.
e finalmente a última.
Combinação: São elementos de um universo restrito em que a ordem NÃO importa.
a fórmula é a que td mundo lembra
n!/k!(n-k)!
OBS: As notas de aula do professor caputi neste site:
https://sites.google.com/a/ufabc.edu.br/bases-matematicas-caputi/ tem exercícios no capitulo 4. Se quiser estudar de verdade de uma atenção a elas.
Tendo dado uma passada por isso vou usar exercícios pra exemplificar(retirados das notas de aula mas que o professor não deu resposta) ,
por favor notem que eu não tenho 100% de certeza de nenhuma resposta aqui ou seja td é passível de erro, se eu errei por favor avisem que corrijo:1)Uma sala tem 6 portas. De quantas maneiras é possível entrar e
sair dessa sala?
R: Ok nesse caso foi por contagem simples você pode sair de 6 formas e entrar de 6 formas logo 6*6=36.
2)De quantas formas ´e poss´ıvel entrar e sair da sala anterior por
portas distintas?
R: Ainda em contagem mas apenas 6*5=30.(basta pensar que você pode sair por P1P2,P1p3...P1P6 logo 5 jeitos pra porta 1 o mesmo vale pras outras 6*5).
3)Quantos inteiros entre 10000 e 100000 existem cujos dígitos são
somente 6, 7 ou 8?
R: temos 3 opções no 5º digito da esquerda pra direita(o 1 de 10000) e 3 opções pra cada zero.
logo 3*3*3*3*3=3
5=243;
4)Quantos inteiros entre 10000 e 100000 existem cujos dígitos são
somente 1, 6, 7 ou 8?
R:Partindo da emsma ideia temos 4 opções pra cada digito. logo 4
5=1024
5)Quantos inteiros entre 1000 e 9999 (inclusive) existem com todos
os dígitos distintos? Desses quantos são pares?
todos digitos distintos. vamos la:
_ _ _ _ no primeiro nós temos 9 opções( 9 _ _ _). No segundo nós temos 10 opções-1 já usada logo ( 9 9 _ _). no terceiro nós temos 10 opções - 2 já usadas e assim por diante logo temos ( 9 9 8 7).
Com isso nós temos 4536 números com digítos distintos.
Agora entra uma linha de pensamento que eu posso ter errado:Possuimos 5 pares(0,2,4,6,8)
pra ser par basta o da ponta ser par logo temos 4 opções(estou ignorando o zero por hora).
_ _ _ 4
no primeiro temos 9 opções - a já usada: 8 _ _ 4
.no seguinte 10 opções menos 2 já usadas :8 8 _ 4
e no seguinte temos 10 opções menos 3 ja usadas: 8*8*7*4=1792(com 2,4,6 ou 8 no final).
Para o 0 entra uma coisa diferente:
no primeiro temos 9 opções(zero está fora) 9 _ _ 1
no segundo temos qlqr opção - 0 e a ja usada : logo 9*8*_*1
e assim obtemos 9*8*7*1=504
o total obtido é 2296.
6)Dados 20 pontos não colineares no plano. Quantas retas podem
ser formadas ligando dois pontos? Quantos triângulos podem ser formados
ligando uma tripla de pontos?
temos 20 pontos. a ordem não interessa(AB=BA) logo combinação;
2o!/2!(20-2)!=190.
Quantos triângulos. Novamente a ordem não interessa
20!/3!(20-3)!=1140 ..
. calma...1140 triangulos??!! Como pode ter mais triangulos que linhas?!
Achei isso mto estranho e fiz um programa pra calcular os pontos. para linhas deu certo
Montei ele de forma que havia uma lista de pontos. e pra cada ponto ele fazia um grupo com todos os pontos subsequentes da lista. o resultado foi o esperado 190.
ae fiz pra triangulos, programei errado testei com ABCD e cheguei a um resultado que batia.
Mudei pra as 20 opções e deu 1140.
Então sim há mais triangulos possiveis que linhas!
Caso alguem queira ver o programa em php disponibilizei no pastebin aqui
http://pastebin.com/f5efac672Caso queira ver os pontos e triângulos gerados eles estão aqui :
http://pastebin.com/m369f727fEu sinceramente não entendi a matemática por trás disso (Mais linhas que triangulos) mas confio na fórmula de análise combinatória e na saida do programa que criei(pq ele testa se havia esse ponto ou não).
Então td bem
7)Numa estante temos 13 livros: 6 de cálculo, 3 de geometria analíıtica
e 4 de física básica. De quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrção.
R:Ok neste caso a ordem dos elementos é importante é uma permutação 13!
b) Se pedirmos para que os livros de cálculo sejam colocados primeiro,
depois os de geometria analítica e por fim os de física básica.
R) para os de cálculo temos 6! opções, geometria 3! e física 4!.
Pra cada membro do conjunto cálculo podemos fazer uma arrumação com a configuração dos outros conjuntos.
logo multiplico 6!3!4! ( pra cada arrumação que eu faço posso fazer uma combinação com a outra arrumação).
O total é 103680
c) Se pedirmos para que os livros do mesmo assunto fiquem juntos
R: Já temos a combinação com a ordem. pensando que cada ordem é um bloco nós temos 3! ordems possiveis (GA,Fis,Calc|Ga,Calc,Fis|Calc,Ga,Fis|Calc,Fis,Ga|Fis,Calc,Ga|Fis,Ga,Calc)
então multiplicamos as ordens possiveis pela ordem que temos 6!3!4!*3!
O total agora é 622080
8)Imagine que na coleção de livros anteriores, 3 livros de cálculo
eram iguais. Agora, de quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrição.
R: Ok 3 iguais então faço uma permutação com elementos repetidos
13!/3!
b) Se pedirmos para que os livros de cálculo sejam colocados primeiro,
depois os de GA e depois física.
Igual a 7 b no entanto agora pra cálculo temos opções diferentes.
Uso permutação com repetidos pra cálculo 6!/3! e o resto continua igual logo
6!/3!=120
120*3!*4!=17280
c) Se pedirmos para que os livros do mesmo assunto fiquem juntos
mesmo esquema temos o total de possibilidades em uma ordem fixa (17280) e temo 3! ordens possiveis logo 17280*3!=103,680
9)Quantos conjuntos de três letras é possível formar tal que nenhum
par delas seja consecutivo?
R: Primeiro vejamos quantos conjuntos de 3 letras são possiveis.
Nesse caso a ordem IMPORTA e nos não retiramos elementos do conjunto logo é 26³(Contagem simples 26 opções em cada "slot").
26³=17576
Agora supondo que a consecutiva de Z é A temos 3 situações.
A B _ em que A é uma letra eB a consecutiva e _ uma não consecutiva
_ A B.
e ABC.
Para a primeira(E segunda situação já que a ordem dos fatores não altera os produtos temos)
26 letras * 1(Apenas a consecutiva)*25 letras (qualquer menos a consecutiva).
e para o último caso temos
26 apenas. (Letra qualquer consecutiva e consecutiva).
Note que o caso B _ A não foi estudado pois não considero a primeira consecutiva da ultima
com isso tempos 26*25 pra AB_ + 26*25 pra _AB + 26 para ABC totalizando 1326
Todo conjunto que não pertenã a AB_ ou _AB ou ABC é um conjunto de letras não consecutivas logo o total é 17576-1326=16250
10 — Um estudante precisa vender 3 CDs de sua coleção que conta com
7 CDs de jazz, 6 de rock e 4 de música clássica. Quantas escolhas ele possui,
se
a) ele quiser vender quaisquer CDs
R:Ok qualquer cds. A ordem tanto faz na minha concepção.
Logo combinação.
O total é 17 então C(17,3)=680
b) ele quiser vender os três do mesmo estilo.
R: Ok pra jazz ele tem C(7,3) pra rock C(6,3) e pra música clássica C(4,3)
o total será C(7,3)+ C(6,3) +C(4,3)=35+20+4=59
c) ele quiser vender pelo menos dois do mesmo estilo.
R: Ok dois do mesmo estilo ele tem pra jazz sendo o estilo dos dois.
á C(7,2)*15 ( O 15 é o total menos os 2 vendidos). e pros outros temos C(6,2)*15 e C(4,2)*15 logo
(21+15+6)*15=630
É isso espero que esses dados tenham servido pra algo( pra mim serviu).
Quanto a lista 4 que prometi o professor caputi disse que ia colocar algumas respostas online e usar maior e menor ferra td o html da blogger,(e utilizar o código correspondente que não ferraria é totalmente ignorado quando eu coloco no ar). Então se o caputi não colocar eu subo em um arquivo de texto e posto algo aqui.
PS: Se alguem tiver qualquer resumo que seja bom me envie em blackjackdevel@gmail.com que publico aqui com os devidos créditos
E abaixo uma de valor negativo pra entender o que se passa.
Perceba que na homotetia vertical se mexe com o y final ou seja cada valor tem por exemplo o dobro em um que no outro. enquanto que na horizontal mexemos com o y pra por exemplo k(x) encontramos o mesmo valor que f(x/3).
Imagem 2
Imagem 4
Imagem 5
