Resumo Bases Matemáticas Funções

Algumas pessoas pediram e eu tambêm não estou indo brilhantemente bem em bases matemáticas então vou tentar resumir o que consegui absorver.
Vou me basear nas notas de aula do professor Caputi e se possível resolver a lista tambêm.
Vou começar com a matéria da próxima prova(a minha ao menos). Funções.
Pretendo resumir o que der dela e depois disso passar para a lista 4.
Para a fonte do que estou escrevendo vá até https://sites.google.com/a/ufabc.edu.br/bases-matematicas-caputi/

Pra você que não quer ler todo o blablabla no paragrafo a seguir vou resumir realmente o que é importante:

• Uma função é uma relação em que pra cada valor de X só um Y se repete.
• Uma função é uma relação de conjuntos;
• Ao conjunto de x chamamos de domínio de X e denotamos dom X;
• Ao conjunto de y chamamos de contradomínio e não tem denotação;
• A imagem de um único X é a imagem de x, a imagem de todos os x é a imagem da função como um todo.
• A imagem de função como todo denotamos im f
• Im f := {y ∈ B | y = f(x) para algum x ∈ A} (Traduzindo y pertence a b tal que y é igual a função de um dado x para um x pertencente a A);
• Pré imagem é o conjunto de elementos do domínio que na função resultam os elementos do contradomínio que queremos.
• f−1(Y ) = {x ∈ A| f(x) ∈ Y }.
• escrevemos pré imagem como o f^-1(Y ).
• f−1(Y ) = {x ∈ A| f(x) ∈ Y }. em que Y é um subconjunto de B.
• O contradomínio pode ter mais elementos dos que os que são representados no gráfico.
• Função injetora: Função em que cada elemento do domínio há apenas um único Y associado a ela ou seja não há X diferente com o mesmo valor de Y.
• Função Sobrejetora: É aquela que TODO elemento do contradomínio é uma imagem de algum elemento do domínio(Lembre-se contradomínios podem ser maiores do que o utilizado na função).
• Lembre-se: não é porque duas funções possuem a mesma fórmula algébrica que elas são iguais. Se o domínio ou contradomínio delas forem diferentes elas são funções diferentes.
• Função Bijetora: Uma função é bijetora se ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

E agora vem o blablabla:

Função:Para a prova entenderemos função como uma relação entre variáveis.(No nosso caso X e Y) em que para cada valor de
X há um único valor de Y.
Ou seja para a f(x) com x=2 você obtêm um único valor de y. Dessa forma na representação gráfica de funções se há valores repetidos na horizonta(Tipo um C) aquilo NÃO é um gráfico de função.
Abaixo algumas imagems que demonstram gráficos que não são de função:

Imagem 1

Imagem 2

Para os 2 gráficos acima(Ignorando a porquisse dos mesmos) , o X dá mais de um valor de Y isso não é uma função.Logo se vc estiver tentando fazer um gráfico de função e sair algo assim você fez errado. Com certeza.

Abaixo 2 gráficos de função:

Imagem 3

Imagem 4

Note que embora no primeiro(imagem 3) haja valores repetidos de Y para X diferentes não há valores de X repetidos para Y diferentes.

De modo geral uma função é uma relação entre conjuntos.
O conjunto dos valores de X está relacionado de alguma forma aos valores de Y.

A denotação usada nas aulas pra representar funções é
f : A ? B em que A é o dominío da função (Valores de X para quais a função é válida) e B é o contradomínio da função(Valores de Y para os quais é possível ter um valor)

Neste caso A é o domínio de f e se sua notação é "Dom f", b é o contradomínio de f(não há notação pra contradomínio,seilá porque).

Explicando por cima é assim:
Se um x é valido em f(x) então ele com certeza pertence a A. E se um f(x)( O y gerado pra um dado valor x) existe para um valor válido de X então esse Y pertence ao contradomínio.

Nessa relação de cima em que y=f(x) dizemos que y é a imagem de X. É mais fácil entender esse nome de imagem pensando em gráficos.
Se vocÊ pensar o desenho do gráfico se dá pelos pontos de Y desenho=imagem.
O conjunto de TODOS as imagemes dos elementos do dominío A,ou seja todos os y gerados pelos x que pertencem a A, São a Imagem da função (Escreve-se Im f).

Então: A imagem de um único X é a imagem de x, a imagem de todos os x é a imagem da função como um todo.

Copiando da nota de aula: Im f := {y ∈ B | y = f(x) para algum x ∈ A} (Traduzindo y pertence a b tal que y é igual a função de um dado x para um x pertencente a A)

Observe a imagem abaixo:

Imagem 5

Na imagem 5 um um único ponto é a imagem do X correspondente e toda a reta verde é a imagem da função (im f).

Neste caso o dominío é A(Os valores de X para qual a função faz sentido) e B é o contradomínio (conjunto de valores de Y)

Há tambêm a questão recíproca pra um elemento de B quais valores de x possuem esse elemento de B como imagem? A isso é dado o nome de pré imagem.
Se escreve a pré imagem como f^-1(Y )

.
Basicamente a pré imagem é o caminho inverso e o resultado dela pode ser um conjunto vazio.
Se escreve como f⁻¹(Y ) = {x ∈ A| f(x) ∈ Y }.

Se o contradomínio da imagem 5 fosse maior haveria valores de B que não correposndem a um valor X sendo a f⁻¹ desses elementos um conjunto vazio.

Sobre injetividade e sobrejetividade:

Função injetora: Função em que cada elemento do domínio há apenas um único Y associado a ela ou seja não há X diferente com o mesmo valor de Y.
Nestes exemplos a imagem 5 é injetora mas a imagem 3 não pois na imagem 3 há elementos x diferentes com um mesmo valor de Y.

Ctrl+c, Ctrl+V nas notas do professor caputi:

Uma função f : A → B é injetora se, e somente se,
para todo par de elementos u, v ∈ A, vale:
f(u) = f(v) ⇒ u = v.

Função Sobrejetora: É aquela que TODO elemento do contradomínio é uma imagem de algum elemento do domínio.
Esse é um conceito interessante pois dá pra "forçar" a sobrejeção.
Digamos que tem uma função em que f(x)=x+2. E o domínio é dado pelo conjunto A= {1,2,3,4}.
Possuimos 2 outros conjuntos B={3,4,5,6} e C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Essa f: A → B é Sobrejetora no entanto pra mesma fórmula algébrica com o contradomínio C
f: A → C não é sobrejetora pois neste caso os elementos 1,2,7,8,9,10 ficam de fora.
Função Bijetora: Uma função é bijetora se ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Não sei se esse resumo está claro,útil ou decente. Ao - pra mim ajudou a estudar XD.
Pretendo tentar fazer a lista 4 dia desses e se possível fazer um resumo da última aula do caputi(reflexões,contrações etc). T mais